La torre y la estrategia ganadora
Por Adrián Paenza
En la
vida cotidiana, uno se enfrenta múltiples veces con opciones,
decisiones que tiene que tomar. Las alternativas se presentan en
distintas tonalidades de grises y no queda claro que haya una que sea la
correcta dejando la o las otras en la categoría de equivocadas o
erradas.
Es decir, ojalá todas las decisiones fueran blanco o negro. Pero
tanto usted como yo sabemos que muy raramente es así. Por lo tanto,
poder elegir adecuadamente requiere componentes de madurez, tolerancia,
análisis, frustración. Es que toda elección implica una pérdida (todo lo
que uno no eligió) y no siempre es fácil poder disfrutar de lo elegido
teniendo que pagar el precio de no tener lo que uno también hubiera
querido tener.Es obvio que ninguna ciencia provee verdades absolutas en este tipo de terrenos, pero lo que sí ofrece la matemática es un conjunto de herramientas lógicas que permiten mejorar la calidad del análisis y elaborar estrategias.
Una buena manera de entrenarse es a través de los juegos, cosa que yo incorporaría fuertemente en todos los estamentos de la educación. La capacidad de imaginación que tiene un niño, quien aún no está domado por lo que nosotros (los adultos) creemos que hay que hacer, les permite a los más jóvenes pensar de una forma distinta.
Hace algunos años, un profesor, colega mío, le dijo a un par de sus alumnos de doctorado que llevaban varios años peleando contra un problema sin poder encontrar la solución: “Vayan ahora y busquen un nuevo tutor. Busquen por otro lado”. Ante el estupor de los jóvenes, mi compañero agregó: “Yo ya intenté por mi cuenta por todos los caminos que se me ocurrieron y sé que por allí no hay posibilidades de éxito. Ustedes necesitan de una nueva guía, de alguien que los encamine hacia otro lado, un ángulo que yo no alcanzo a ver. Si ustedes siguen intentando conmigo, están condenados a repetir los mismos errores que cometí yo. Ahora les toca a ustedes buscar por otro lado”.
Más allá de la brutal honestidad con la que se paró frente a ellos y se reconoció falible/vulnerable... o si usted prefiere “humano”, eso también fue una lección para mí. Los jóvenes requieren de estímulos y libertad para poder pensar e imaginar cosas. Encontrar un equilibrio entre la transmisión del conocimiento que se posee, guiar sin asfixiar y entender cuándo hay que retroceder es una tarea muy complicada. Habrá sido complicado también para Maradona haber tenido que decir “basta, mi cuerpo no responde más” o para un científico Premio Nobel entender que los mejores años ya quedaron atrás. Lo cual no lo hace ni a Diego ni al científico menos respetables ni mucho menos. Sólo que hay momentos en la vida en que lo mejor que uno puede hacer es dar un paso a un costado. Pero, como decía más arriba, no es fácil.
Vuelvo a los juegos. Fíjese en el siguiente juego que involucra un tablero de ajedrez (clásico, de 8 filas por 8 columnas, alternando blancas y negras). No se preocupe: no hace falta saber jugar al ajedrez para poder entender lo que sigue. De todas las piezas que habitualmente participan del juego, solamente habrá una torre. La posición inicial de la torre es el extremo inferior izquierdo (ver figura 1).
Participan dos competidores que se van alternando para jugar. Cada uno de ellos, cuando le llega el turno, puede mover la torre horizontalmente hacia la derecha tantas casillas como quiera, o verticalmente hacia arriba, también tantas casillas como quiera. El objetivo es llegar hasta la casilla que está en el extremo superior derecho. El primero que llegue (con un movimiento legal) hasta allí gana el juego.
Las preguntas que tengo son cuatro:
a) ¿Hay alguna estrategia para ganar siempre?
b) Si la hay, ¿cuál es?
c) ¿Quién de los dos gana: el que empieza primero o el que juega segundo?
d) ¿Hay alguna estrategia ganadora para los dos?
Solución
El objetivo del juego es arribar a la casilla ubicada en el extremo superior derecho. Como la torre solamente puede mover en forma horizontal hacia la derecha o vertical hacia arriba, entonces, quien sea el que vaya a ganar el juego, es porque el último que movió dejó la torre o bien en la última columna o bien en la primera fila. Desde allí, está claro que a quien le toque jugar gana. Más aún: únicamente desde alguna de esas dos posiciones (última columna y/o primera fila) se puede acceder a la casilla ganadora.Si usted estuviera jugando conmigo y, cada vez que le toca su turno, llevara la torre hacia la diagonal que une la casilla inicial con la final (ver figura 2), o sea, la que ocupa el extremo inferior izquierdo con la que une el extremo superior derecho, está claro que desde allí, a mí me sería imposible ganar. Es decir, cualquiera de los dos competidores que por alguna razón “cae” en esa diagonal inexorablemente sabe que desde allí y en un solo movimiento no puede ganar.
Y ésa es la clave del problema. Para que su rival (yo) no pueda ganar, todo lo que usted tiene que hacer es “empujar” la torre hacia esa diagonal, cada vez que le toque el turno.
Ahora bien: como la torre inicialmente está ubicada en esa diagonal, eso significa que quien tenga que jugar no puede ganar desde allí. Supongamos que soy yo el que empieza el juego. La torre está ubicada en el peor lugar para mí. Haga lo que haga yo, cuando le toque a usted, si juega con la estrategia adecuada, empujará la torre hasta la diagonal otra vez (1(, y desde allí, ¡yo no puedo ganar! Y si yo estuviera forzado a llevar la torre hasta la primera fila o la última columna, listo: ganó usted.
¿Cuál es la moraleja de todo esto? (Y de paso aprovecho para que juntos contestemos las preguntas que dejamos pendientes):
a) Sí, hay una estrategia ganadora. Si usted hace los movimientos previstos más arriba, usted va a ganar inexorablemente.
b) La estrategia consiste en llevar la torre siempre a la diagonal que une la casilla que está en el extremo superior derecho con la casilla que está en el extremo inferior izquierdo.
c) Gana el que juega segundo.
d) No. Si los dos juegan correctamente, el que empieza pierde seguro.
Una vez más, la matemática sirve como auxilio para buscar la solución: no sólo uno sabe que va a ganar si empieza segundo, sino que además sabe que si le toca empezar primero, el segundo le va a ganar inexorablemente (si juega bien). No es poco.
Es bueno aprender a pensar que hay situaciones en las que uno no tiene posibilidades de ganar y que, por lo tanto, lo mejor que puede hacer es minimizar la pérdida. Eso también es sabiduría. Y la matemática tiene siempre muchas cosas para decir.
(1) Salvo que la torre ya esté ubicada o bien en la última columna (extrema derecha) o bien en la primera fila (fila superior).
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